Jasně formulovaná otázka je poloviční odpověď.

H. Seleye

Cvičení a příklady metod uváděných v matematice se jasněji než v jiných předmětech dělí na úlohy s účinky nespecifickými. Podobně jako v jiných předmětech projevuje se i v matematice encyklopedismus a snaha vnutit dětem základy matematické vědy bez ohledu na praktický život. Jejími projevy jsou rozsáhlé partie učiva na druhém stupni a množství geometrie vnucované dětem od nejútlejšího věku. Zatímco dovednosti z geometrie použije jen zcela nepatrná část populace, výpočty odmocnin a jiných úkonů za pomoci tabulek nepoužije vůbec nikdo. Také proč by to kdo dělal, když funkce odmocňování je dnes i na té nejhloupější kalkulačce. Pominu-li matematiku triviální - sčítání, násobení, »trojčlenku«..., patří většina ostatních poznatků jednoznačně mezi sekundární informace. Inteligentní člověk, který má k ruce kalkulačku a přehled matematických vzorců, nemusí umět počítat soustavy zlomků a rovnic, protože to nikdy v životě nebude potřebovat. Ten, kdo to v životě potřebovat bude, naučí se potřebné při specializovaném studiu, zájmu anebo v praxi.

Představa, že matematika je »hlavní« a »profilový« předmět, je úplně mylná. Jestli do nějaké 5. - 6. třídy zpravidla korelují výsledky v matematice s obecnými schopnostmi žáka, později se mohou diametrálně rozcházet. Matematické myšlení (logika, analýza, symbolizace) typově vyhovuje necelé čtvrtině populace. Podle některých šetření jen asi 10 % dětí. Ostatní lidé tvrdým tlakem, matematizací naší školy (většina času je ve škole věnována matematice a mateřštině) budou strádat a nikdy nebudou mít uspokojivé výsledky.

Dokud nedojde k proporcionálním změnám ve vyučovacích plánech, zejména na druhém stupni, nezbývá než prosit učitele matematiky: Matematiku, kterou učíte, bude v životě potřebovat (když pominu podobně excentricky zaměřená gymnázia) průměrně jeden žák ze třídy, možná, že žádný. Berte na to ohled při klasifikaci, při zatěžování a stresování svých žáků něčím, co jim k ničemu nebude.

Pokud už musíme vycházet ze stávajících plánů, měla by matematika být orientována spíše na rozvoj obecných schopností - inteligence a tvořivosti. Zkuste vymýšlet sociodramatické úlohy analogické podmínkám života, ve kterých je matematika, ale ve kterých je kdykoliv k ruce kalkulačka, »tahák« atd. Život nejsou písemky, tabulky výpočtů v hlavě a memorování vzorců.

Nechápu, proč bych si měl pamatovat něco, co mohu kdykoliv vyčíst ze svých poznámek.

A. Einstein

Sešity.

Podivným přesvědčením učitelů matematiky, a nejen matematiky, je »jednotná úprava« sešitů. Tato zvláštní chiméra má jen krůček k tomu, aby jednotná úprava byla vyžadována i u oblečení dětí, jejich účesů, tváří a myšlenek. Vychází přitom z nahromadění hned dvou omylů: Tím prvním je představa, že všechny děti pracují jednotným tempem, paralelně vždy na stejných úkolech. Děti nadané i nenadané, hbité i pomalé... Na první pohled je jasné, že tento přístup k práci v hodině nemá opodstatnění a je škodlivý. Děti mají různé schopnosti, pracují různým tempem a na různě těžkých úkolech. Tedy různí žáci mají v sešitech zápisy různé práce; ve třídě musí zákonitě vzniknout alespoň tři skupiny s odlišným tempem práce.

Tím druhým je skutečnost, že má-li mít zápis v sešitě význam, nesmí být pouhým »jednotným« opisem z tabule, ale záznamem vlastních myšlenek. A děti, které různě myslí (a zaplač pánbůh, že nemyslí jednotně!), nemohou jeden úkol vyřešit jednotným způsobem a zapsat ho jednotným zápisem.

a) Elementární počítání

Elementární počítání by mělo být založeno na vlastním pohybu, aktivní manipulaci s předměty. Tato manipulace a hry jsou doprovázeny ústním počítáním. Je to velmi důležité: spojuje se představa počtu věcí, pojem, asociace na vlastní pohybové, hmatové a citové prožitky. Teprve naposled by měla nastoupit písemná forma operací s čísly, protože operace s abstraktními symboly je nejsložitější a nejvzdálenější způsobu myšlení většiny lidí. Také geometrie by měla být co nejvíce spojena s vlastní aktivní činností dětí: modelováním, konstrukčním spojováním prvků stavebnice apod.

1. Hraní deskovch her, kde se hází kostkou. Je jich mnoho; Člověče, nezlob se patří k nejznámějším. Speciálně pro potřeby matematiky na 1. stupni dodáváme hry »Superčlověče« a »Závody«. Mají několik odlišností od běžných her, jednou z nich je i použití speciální kostky, na které jsou všechna čísla (na obyčejné kostce jsou jen 1 - 6).

2. Popletený učitel. Řada učitelů vychází z predikace, že děti jsou úplně hloupé a je třeba jim vše vysvětlit. To není pravda; vycházejme raději z toho, že děti jsou inteligentní a leccos znají. Pro děti je velmi žádoucí, mohou-li opravovat »popleteného učitele«. To platí pochopitelně nejen pro matematiku, ale obecně. Má to navíc druhý význam - výchovný. Děti se naučí odporovat tomu, co je nesprávné. »Okřiknou-li« děti učitele, který plete sčítání nebo který by si v lese klidně rozdělal ohýnek a umyl auto v rybníce, je to předstupeň, směřování k tomu, aby jako dospělí lidé přemýšleli vlastní hlavou a nikdy nebyli poslušní či neteční.

Vytvářejme co nejčastěji takové situace, kdy správné je odporovat učiteli. Snažme se občas chovat ve druhém plánu a umožnit dětem, aby nás opravily a kritizovaly.

3. Číselná osa. Nerovnost. K rozvoji představ číselné osy výborně poslouží hraní deskových her, také je možné jednotlivé číslice psát různě velké (nula úplně maličká, ostatní čísla se postupně zvětšují).

4.Význam čísla. Hráči tahají z klobouku kartičky, na nichž jsou napsána čísla od 1 do 20. Hráč, který kartičku vytáhl, se snaží vymyslet vždy co nejvíce významů, co dané číslo může znamenat. (Např. dvě mohou být ruce, nohy, oči, pět je prstů na ruce, pracovních dnů v týdnu apod.) Ostatní se mu snaží pomáhat, abychom dohromady ke každému číslu těch významů (asociací) vymysleli co nejvíce.

b) Sčítání a odčítání v oboru do 100

5. Deskové hry - naše nakladatelství dodává speciální sadu deskových her »Závody«, která je určena k snadnému procvičování početních úkonů. Podobně lze použít i hru »Superčlověče«, která má proti klasickému Člověče, nezlob se zvětšený počet polí, a v počátečních fázích lze hrát i normální Člověče, nezlob se a jakékoli obvyklé deskové hry, při nichž se jezdí figurkou podle kostky. Protože normální kostka má čísla jen do 6, doporučujeme použít speciální dvanáctistěnné kostky, jež ke všem hrám dodáváme a kde jsou všechna čísla. Princip spočívá v tom, že hráči házejí dvěma kostkami najednou a táhnou o výsledný počet polí. Při procvičování odčítáme menší číslo od většího a táhneme opět o výsledný počet polí. Zvláště sčítání a odčítání přes desítku se velmi snadno procvičuje touto metodou.

Zde je inspirace:

6. Šifrované zprávy.“ Jsou od druhé třídy snadno použitelné. Děti mají v sešitě očíslovaná jednotlivá písmena (viz Šifrovaná abeceda) a písmena jim na tabuli píšeme ve formě příkladů. Slovo květina je zakódováno (podle tab.) do čísel: 12, 23, 30, 21, 10, 15, 1. Žákům bychom je na tabuli napsali třeba v této podobě:

7 - 5 nebo 6 - 6

10 - 13 13 - 10

20 - 10 15 - 15

20 - 1 25 - 4

5 - 5 17 - 7

7 - 8 19 - 4

1 - 0 9 - 8

Slova a věty »předávané« dětem touto cestou by měly být pro děti dostatečně přitažlivé svým obsahem.

7. Na proud.“ Tuto hru hrají dvě družstva o shodném počtu hráčů, je-li ve třídě lichý počet dětí, bude nám jeden z žáků dělat pomocníka. Družstva si sednou do dvou řad - členové jednoho družstva vedle sebe zády k družstvu druhému. Na jednom konci je položena kulička nebo kostka, na druhém sedí učitel a dává prvním v obou družstvech úkoly. Např. jim na papír napíše příklad 9 - 7 = 14. Pokud je správně, vyšlou první v družstvu signál, pokud ne, nevysílají nic. Signál se vysílá stiskem ruky souseda. Hráči sedící uprostřed přijmou signál - stisk ruky a co nejrychleji ho pošlou dál. Poslední, když přijmou signál, seberou kostku (kuličku). Tím získává družstvo bod. Pokud kuličku seberou v nesprávný okamžik (signál neměl být vyslán), získá družstvo trestný bod. Pokud při hře někdo z hráčů promluví nebo dá signál jiným způsobem než stiskem ruky, získá družstvo trestný bod také. Vždy po 3 příkladech odcházejí první hráči na konec a celé družstvo se o jedno místo posouvá, hra končí vystřídáním všech členů družstva.

Obtížnější varianty: Kostka na konci řady je několik metrů od posledního, ten, když dostane signál, musí vyskočit a doběhnout pro ni. Hráči také mohou sedět čelem k sobě - vysílání signálu musí být velmi nenápadné, aby si toho nevšiml protihráč. Příklady nepíšeme, ale šeptáme apod.

8. Na nervíky. Hráči sedí v kruhu o průměru asi 2 - 3 m a mají v ruce »nervíky«, tedy asi 2m dlouhé kousky tenkého provázku, na jehož koci je přivázaný velký knoflík nebo velký korálek. Jeden z hráčů nemá nervík, ale kelímek a má úlohu »lapače« nervíků.Hra začíná tak, že lapač nervíků sedí téměř uprostřed kruhu, uprostřed je hromádka knoflíků a korálků od jednotlivých nervíků, na kraji kruhu sedí ostatní hráči.Učitel říká různé příklady, pokud jsou správně, nic se neděje, pokud však učitel řekne chybu, musí hráči okamžitě ucuknout s nervíkem, protože úlohou lapače nervíků je v tento moment hromádku knoflíků přiklopit. Vždy po třech přiklopeních se v úloze lapače hráči postupně střídají. Pokud je hráč na obvodu kruhu chycen, získává jeden trestný bod, stejně tak lapač získává trestný bod za každý knoflík přiklopený v nesprávný okamžik. Naopak, lapač může body i získat - za každý správně chycený knoflík dva body. Hra končí, když se všichni hráči vystřídají v úloze lapače.

9. Na rybníce plulo 5 kachen. Myslivec 2 z nich zastřelil. Kolik jich zbylo na hladině?

10. Rozděl číselník hodin jednou přímkou tak, aby v obou částech byl součet číslic shodný.

11. Mirka nakoupila v obchodě zboží za 37 korun, ovšem měla sebou jen dvoukoruny a pokladní zase jen pětikoruny. Jak to udělali?

12. Hra na obchod. Hrajeme s papírovými penězi, které si děti mohou i samy vyrobit - mince frotáží, viz výtvarná výchova, cv. 43, bankovky lze nakreslit zcela originální. (Dětem dokonce můžeme dát úkoly vymyslet, jaké obrázky by na bankovkách byly nejhezčí - při tvorbě návrhů mohou kombinovat kresbu s koláží, udělat si malou přehlídku povedených návrhů.) Potom děti mohou obchodovat s různými imaginárními výrobky; prodavače může dělat učitel nebo dobří počtáři. Také lze obchodovat s obrázky (vlastní nebo z časopisů) - hra na návštěvu prodejní galerie obrazů atd. Důležité je, že děti musí »platit«, počítat peníze, vracet na velké bankovky atd. Počítání je tedy spojeno s bezprostředními zážitky a řadou asociací.

c) Násobení a dělení v oboru násobilky

13. Na proud.“ Viz str..

14. Na nervíky. Viz str..

15. Hraní deskových her. Používáme dvě kostky, nejraději speciální dvanáctistěnné kostky, které ke všem hrám dodáváme, hráči házejí oběma kostkami najednou a obě hozené hodnoty mezi sebou vynásobí. Figurkou pak táhnou o výsledný počet polí. (Např. padne 5 a 7, potom táhnou o 35 polí.)

Dobře lze použít při hraní »Člověče, nezlob se«, jen se setkáme s tím, že herní dráha většiny obvyklých herních plánů je velmi krátká na tak vysoké hodnoty, proto doporučujeme hrací plán »Superčlověče«, který má trojnásobný počet polí, anebo ještě lépe dvojici her »Závody«, která je pro podobné použití přímo vytvořena.

Necháme-li děti samostatně při hodině hrát tyto hry, spočítají za hodinu víc příkladů, než bychom tušili, že spočítat mohou, přičemž celá činnost pro ně bude hrou. Namítá-li někdo, že nemáme dobrou kontrolu o správnosti výsledků, které vypočítají, je nutné říci, že tuto kontrolu si dělají děti samy. Hrají-li šestičlenné skupiny, hlídá každý tah pět spoluhráčů, aby je šestý neošidil a nejel více, než hodil.

16. Monti Jack - Jde o modifikaci hry »Macháček«, která se hraje se dvěma kostkami. Hráči sedí v kruhu a postupně házejí oběma kostkami najednou tak, aby ostatní neviděli, jaká čísla padla. Obě číslice mezi sebou vynásobí a řeknou výsledek nahlas. Hráč, který v kruhu následuje, tento výsledek akceptuje a pokračuje ve hře. To znamená, že hází sám a musí se mu podařit hodit větší číslo než předchozímu, jinak získává trestný bod. Také ale může chtít přesvědčit se, zdali jeho spoluhráč opravdu vyslovené číslo hodil. Ten v takovém případě musí odkrýt kostky a ukázat všem, jaká čísla mu padla. Pokud mu padla čísla jiná, než řekl nahlas, získává trestný bod, pokud vyslovil správný výsledek, získává trestný bod hráč následující, který požádal o odkrytí kostek. Trestné body zapisujeme v průběhu hry na papír. Hra končí tehdy, když se jednomu z hráčů podaří hodit dvě jedenáctky, tedy nejvyšší dosažitelné číslo. Vyhrává hráč s nejnižším počtem trestných bodů.

Při této hře je povoleno »švindlovat« a říci vyšší výsledek, než hodíme, pouze musí každý hráč počítat s tím, že při odhalení získá trestný bod. Každý se tedy musí sám rozhodnout, kdy »švindlovat« a kdy nevěřit svému spoluhráči.

17. Psaní »tajných« zpráv je v modifikaci »násobilka« velmi snadné. Tímto způsobem lze se třídou komunikovat a předávat jí nejen poselství Marčanů, kosmonautů atd., ale i běžná reálná sdělení. Pro ilustraci lze uvést zašifrování slova, např. jezevec: Jezevec, v číselném kódu (viz Šifrované zprávy«) 11, 5, 25, 5, 26, 5, 3. Zadáme v příkladech:

2 . 5 - 1, 25 : 5, 3 . 8 - 9 : 3, 45 : 9, 5 . 5 - 1, 30 : 6, 30 : 10

Dobře se osvědčuje psát příklady pod sebe, do sloupců a jednotlivá slova oddělit vodorovnou čarou.

18. Jeden žák vyřeší úlohu za 10 min, za jak dlouho ji vyřeší 5 žáků?

19. Jeden kuchař okrouhá deset brambor za 5 min, za jak dlouho okrouhá 10 brambor 30 kuchařů?

20. Honza a Jirka se narodili stejným rodičům ve stejný den, stejný měsíc a stejný rok a přesto nebyli dvojčata, jak je to možné?

21. Dva kluci jeli na výlet do cíle vzdáleného 70 km. Jeden z nich jel na kole rychlostí 20 km v hodině, druhý jel na motocyklu rychlostí 70 km v hodině. Přitom se domluvili, že kdo první dorazí do cíle, pojede druhému naproti. Jak daleko od cíle cesty se setkali? Jestliže vyrazili v 9 ráno, v kolik hodin se setkali znovu?

22. Který trojúhelník má větší obsah: ABC=(18, 23, 41) nebo DEF=(25, 33, 58)?

23. Rozlušti:

3 . 4

3 . 7

25 : 5

5 . 3 - 4

8 . 5

__________

3 . 4 - 1

45 : 9

64 : 8

4 . 4 - 9 : 3

2 . 5

7 . 4

3 . 5

20 : 20

7 . 3

8 . 4

_________

5 . 4

3. 7

5 . 5 - 2 . 3

4 . 4

5 . 3 - 1

________